RELASI DAN FUNGSI

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

\ $f:A \rightarrow B$

Dengan:

Mau diskon 40% paket RuangGuru? Pakai kode promo: DISKON40SB

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$

B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$

${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh:

Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Turunan Fungsi Aljabar & Trigonometri
Persamaan Garis Lurus

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki relasi dengan fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$ atau $g = f^{-1}$ . Jika $f^{-1}$ dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dalam bentuk $x = f(y)$

Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$ sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$

Punya PR yang gak ngerti? Mau latihan soal? Cek di Forum StudioBelajar.com

Contoh:

Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$ :

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}$

$x = \pm \sqrt{y -3 + 3}$

Sehingga inversnya adalah

$f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1}$ dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI f(x) $f^{-1}(x)$

Fungsi linier $f(x) = ax + b$ $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$

Fungsi pecahan linier $f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}$ $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$

Fungsi Irrasional $f(x) =\sqrt[n]{ax+b}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}$

Fungsi eksponen $f(x) = a^x$ $f^{-1}(x) = ^a\log x$

Fungsi logaritma $f(x) = ^a\log x$ $f^{-1}(x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI $f(x)$ $f^{-1}(x)$

Fungsi linier $f(x) = 2x+3$ $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$

Fungsi pecahan linier $f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}$ $f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}$

Fungsi Irrasional $f(x) = \sqrt[4]{2x+3}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}$

Fungsi eksponen $f(x) = 2^x$ $f^{-1}(x) = ^2\log x$

Fungsi logaritma $f(x) = ^2\log x$ $f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .

Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

$(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$

$(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}$

$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$

$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})$

$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})$

$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)$

Jika diketahui $f(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)$

Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))$

Jika diketahui $f(x)$ , $h(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika $f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1$ dan $g(x) = f(x^2 +1)$ , tentukanlah nilai $g(f(x))$

Pembahasan

$g(x) = f(x^2+1)$

$g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}$

$g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}$

Maka:

$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}$

$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}$

$g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$ , tentukan $f(x)$ .

Pembahasan

$f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x -3)$

$f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)$

$x = \frac{1}{2}(y - 3)$

$2x = (y - 3)$

$y = 2x + 3$

Maka,

$f(x) = 2x + 3$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan $f(x) = x + 2$ untuk $x > 0$ dan $g(x) = \frac{15}{x}$ untuk $x > 0$ . Jika $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$ , tentukan nilai (x) $(x)$ .

Pembahasan

$f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2$

$g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}$

Maka,

$(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$

$f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1$

$f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1$

$(\frac{15}{x}) - 2 = 1$

$x = 5$

TRIGONOMETRI

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa $\alpha$ :

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut $\alpha$
Sisi AC merupakan sisi samping sudut $\alpha$

Mau diskon 40% paket RuangGuru? Pakai kode promo: DISKON40SB

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.

Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}, \{ \frac{a}{c} = \frac{de-pan}{mi-ring} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.

$\cos \alpha = \frac{b}{c}, \{ \frac{b}{c} = \frac{sa-mping}{mi-ring} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.

$\tan \alpha = \frac{a}{b}, \{ \frac{a}{b} = \frac{de-pan}{sa-mping} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.

$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}=\frac{1}{a/c}=\frac{c}{a}$ .

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}=\frac{1}{b/c}=\frac{c}{b}$ .

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac{1}{a/b}=\frac{b}{a}$ .

Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:

Punya PR yang gak ngerti? Mau latihan soal? Cek di Forum StudioBelajar.com

Dalam Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

Identitas Trigonometri

Dalam suatu segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu $a^2+b^2=c^2$ . Pada materi ini, prinsip phytagoras ini menjadi asal pembuktian identitas trigonometri sendiri.

$a^2+b^2=c^2$ bagi kedua ruas dengan $c^2$ , diperoleh persamaan baru $\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$ . Sederhanakan dengan sifat eksponensial menjadi $(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2$ . Dari persamaan terakhir, subtitusi bagian yang sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, yaitu $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ dan $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ , sehingga diperoleh $(\sin \alpha^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$ atau bisa ditulis menjadi $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ .

Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ bagi kedua ruas dengan $\cos^2 \alpha$ , diperoleh $(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ dimana $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ dan $\frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$ , sehingga diperoleh: $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$

Punya PR yang gak ngerti? Mau latihan soal? Cek di Forum StudioBelajar.com

Bentuk ketiga yaitu $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dibagi dengan $\sin^2 \alpha$ menjadi $1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ , dimana $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$ dan $\frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ , sehingga diperoleh persamaan: $1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ .

Contoh Soal Trigonometri

Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !

Jawab:

$\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti $\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti $\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti $\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Jadi $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}$

Matematika Wajib Semester 2

TRIGONOMETRI

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sudut Istimewa

Dalam Kuadran

Identitas Trigonometri

Contoh Soal Trigonometri

0 comments:

Post a Comment

About Author

Social Share Icons

Popular Posts

Blog Archive

Ad Banner

Contact Us

Ayo Belajar

Report Abuse

WELCOME TEXT

Feature Post

About Me

Contact us

INFORMASI LAINNYA

MENU

About Us

Popular Posts

Newsletter

Subscribe Our Newsletter